V oblasti geometrie, najmä v analytickej geometrii, sa stretávame s rôznymi geometrickými objektmi, ktoré môžeme popísať pomocou matematických nástrojov. Zameriavame sa na precvičovanie týchto objektov prostredníctvom systémov. Najjednoduchšie objekty, ktoré môžeme analyticky popísať, sú body, úsečky a vektory v rovine alebo v priestore.
V prípade priamok a rovín stále ide o objekty popísateľné lineárnymi rovnicami alebo sústavami lineárnych rovníc. Dva významné typy problémov, ktoré riešime v rámci analytickej geometrie, sú polohové úlohy, v ktorých vyšetrujeme vzájomnú polohu geometrických objektov, a metrické úlohy, v ktorých počítame konkrétnu číselnú hodnotu výsledku.
Súradnice bodov a vzdialenosti
Súradnice bodov väčšinou zapisujeme pomocou karteziánskej sústavy súradníc v rovine, ktorá má ako osi dve kolmé priamky. Vodorovná priamka sa tradične označuje x a súradnica pozdĺž tejto osi sa zapisuje prvá. Zvislá priamka sa tradične označuje y a súradnica pozdĺž tejto osi sa zapisuje druhá. Vzorec na výpočet vzdialenosti dvoch bodov vychádza z Pytagorovej vety.
Vzdialenosť dvoch bodov v priestore vypočítame podobne ako v rovine pomocou ich súradníc.
Úsečka
Úsečka je časť priamky medzi dvomi krajnými bodmi (vrátane týchto bodov). Výrazy x_B-x_A a x_A-x_B nie sú rovnaké, čo naznačuje dôležitosť poradia bodov pri niektorých výpočtoch.
Stred úsečky delí úsečku na dve rovnaké časti. Ak ležia krajné body úsečky AB na číselnej osi a ich polohám zodpovedajú hodnoty a a b, potom jej stredu S zodpovedá číslo s=\frac{a+b}{2}. Pre úsečku v rovine bude situácia nasledujúca. Situácia na oboch súradnicových osách je rovnaká ako predtým.
Stred úsečky v priestore vypočítame podobne ako stred úsečky v rovine.
Vzájomná poloha úsečiek
Dve úsečky v rovine môžu mať spoločné krajné body, potom hovoríme, že sú totožné. Ak sa úsečky pretínajú v jednom bode, hovoríme, že sú rôznobežné. Úsečky sa tiež nemusia pretínať, nemajú teda žiadny spoločný bod.
Vzájomná poloha úsečiek v priestore je podobná ako v rovine. Môžu mať spoločné krajné body, potom hovoríme, že sú totožné. Ak sa úsečky pretínajú v jednom bode, hovoríme, že sú rôznobežné. Úsečky sa tiež nemusia pretínať, nemajú teda žiadny spoločný bod.
Vektory
Vektor je množina všetkých zhodne orientovaných úsečiek, ktoré majú rovnakú dĺžku. Kolineárne vektory sú vektory, ktoré môžeme umiestniť na jednu priamku.
Už vieme, že vektor je množina nekonečne veľa orientovaných úsečiek, jedna z nich má počiatok v počiatku súradnicového systému, v bode O=[0;0]. Bod A sa posunie do bodu O, bod B sa posunie do bodu C.
Veľkosť vektora \overrightarrow{AB} je dĺžka úsečky AB.
Opačné vektory sú vektory, ktoré majú rovnakú dĺžku a opačnú orientáciu. Kolineárne vektory sú vektory, ktoré môžeme umiestniť na jednu priamku. S vektorom \vec{u}=(u_1;u_2) je kolineárny každý vektor \vec{v}=(k\cdot u_1;k \cdot u_2), kde k je reálne nenulové číslo.
Operácie ako súčet, rozdiel a vynásobenie reálnym číslom, ktoré vieme jednoducho vykonávať s číslami, je možné s vektormi vykonávať po jednotlivých súradniciach. Špeciálna operácia, ktorú je možné vykonať s dvomi vektormi rovnakej dimenzie (majú rovnaký počet súradníc), je skalárny súčin.
Vektory \vec{u} a \vec{v} sčítame takto: počiatočný bod vektora \vec{v} posunieme do koncového bodu vektora \vec{u}. Súčet vektorov \vec{u} a \vec{v} je vektor \vec{w}, ktorý má počiatočný bod rovnaký ako vektor \vec{u} a koncový bod rovnaký ako vektor \vec{v}. Majme vektory so súradnicami \vec{u}=(u_1;u_2), \vec{v}=(v_1;v_2).
Rozdiel vektorov \vec{u} a \vec{v} je súčet vektora \vec{u} s vektorom opačným k \vec{v}. Vektor \vec{u} môžeme vynásobiť ľubovoľným reálnym číslom k. Dostaneme vektor \vec{v}, ktorému hovoríme násobok vektora.
Skalárny súčin vektorov \vec{u} a \vec{v} označujeme \vec{u}\cdot \vec{v}. V rovine aj v priestore sa dá zapísať priamka ako množina bodov, ktoré spĺňajú parametrickú rovnicu.
Priamky
Priamka je jednoznačne určená dvomi bodmi. Každý vektor, ktorý je rovnobežný s vektorom \overrightarrow{AB} sa nazýva smerový vektor priamky p. Každý vektor kolmý k priamke p sa nazýva normálový vektor priamky p.
Bod M=[m_1;m_2] leží na priamke, ak jeho súradnice vyhovujú rovnici priamky. Ak je priamka daná všeobecnou rovnicou ax+by+c=0, pre súradnice bodu, ktorý leží na priamke platí: a\cdot m_1+b\cdot m_2+c=0. Ak je priamka daná parametricky, po dosiahnutí súradníc bodu vychádza z oboch rovníc rovnaká hodnota parametra t.
Všeobecná rovnica priamky v rovine má tvar: ax+by+c=0, kde konštanty a a b sú súradnice normálového vektora a c reálne číslo. Súradnice normálového vektoru sú konštanty a a b vo všeobecnej rovnici priamky. Konštanta q určuje priesečník priamky p s osou y, súradnice priesečníka sú: P=[0;q].
Priamky rovnobežné majú rovnaký smer, teda ich smerové vektory sú kolineárne. Normálové vektory dvoch rovnobežných priamok sú tiež kolineárne. Priamky rôznobežné majú jeden spoločný bod, tento bod musí spĺňať rovnice oboch priamok.
Priamku v priestore nie je možné vyjadriť všeobecnou rovnicou. Skrátene môžeme vyjadriť p:X=A+t\vec{u}, číslo t nazývame parameter.
Vzájomná poloha dvoch priamok
Vzájomnú polohu dvoch priamok môžeme ľahko určiť, ak poznáme súradnice ich smerových, prípadne normálových vektorov. Rovnobežne priamky majú rovnaký smer, teda ich smerové vektory sú kolineárne. Normálové vektory dvoch rovnobežných priamok sú tiež kolineárne. V špeciálnom prípade môžu byť priamky totožné.
Rôznobežné priamky majú jeden spoločný bod, tento bod musí spĺňať rovnice oboch priamok. Na určenie spoločného bodu (bodov) dvoch priamok, vždy riešime sústavu rovníc.
Metrické úlohy v geometrii
V polohových úlohách riešime analyticky vzájomnú polohu geometrických útvarov v rovine. V metrických úlohách počítame napríklad vzdialenosť dvoch objektov. Vzdialenosť bodu od priamky je dĺžka najkratšej úsečky určenej bodom M a bodom ležiacim na priamke p. Ako je vidieť z obrázka, táto najkratšia úsečka leží na kolmici z bodu M k priamke p.
Ak vieme určiť vzdialenosť bodu od priamky, ľahko určíme tiež vzdialenosť dvoch rovnobežiek. Stačí si uvedomiť, že všetky body ležiace na jednej priamke majú od druhej priamky rovnakú vzdialenosť.
Odchýlka rovnobežiek je 0^\circ. Odchýlku rôznobežiek p a q môžeme vypočítať na základe znalosti smerových alebo normálových vektorov priamok. Veľkosť uhlov v trojuholníku nemusí byť rovnaká ako odchýlka priamok, na ktorých ležia strany trojuholníka. Uhly v trojuholníku počítame ako odchýlku vektorov, ktoré určujú daný uhol.
VZDIALENOSŤ BODU OD PRIAMKY V ROVINE | analytická geometria - vysvetlenie, výpočet
Roviny
Rovina je určená tromi bodmi, ktoré neležia na jednej priamke. Priamka je jednoznačne určená bodom a dvomi nekolineárnymi vektormi. Každý vektor, ktorý je kolmý na rovinu \alpha sa nazýva normálový vektor roviny \alpha.
Normálové vektory dvoch rovnobežných rovín \alpha: a_1x+b_1y+c_1z+d_1=0 a \beta: a_2x+b_2y+c_2z+d_2=0 sú kolineárne, teda súradnice jedného vektora sú k-násobok súradníc druhého vektora.
Na určenie parametrických rovníc roviny potrebujeme poznať súradnice jedného bodu a dvoch nekolineárnych vektorov v rovine \alpha.
Všeobecná rovnica roviny má tvar ax+by+cz+d=0, kde konštanty a, b, c sú súradnice normálového vektora a d reálne číslo.
Bod leží v rovine, ak jeho súradnice vyhovujú rovnici roviny. Ak je rovina daná všeobecnou rovnicou, po dosiahnutí súradníc bodu do rovnice roviny nastane rovnosť.
Kužeľosečky
Ako už názov napovedá, majú kužeľosečky spoločný pôvod. Vzniknú ako rez rotačnej kužeľovej plochy rovinou. Kužeľosečky môžeme tiež chápať ako množiny bodov danej vlastnosti.
Kružnica
Kružnica je množina všetkých bodov v rovine, ktoré majú od daného pevného bodu S rovnakú vzdialenosť r. Bod S nazývame stred kružnice, hodnotu r nazveme polomer kružnice. Podobne ako existuje niekoľko tvarov rovníc priamky, môžeme aj rovnicu kružnice zapísať rôznymi spôsobmi. Každá rovnica v tomto tvare ale nemusí ešte byť všeobecnou rovnicou kružnice. Pre všeobecnú rovnicu kružnice musí platiť, že výraz m^2+n^2-p je kladný.
Z bodu R mimo kružnicu môžeme zostrojiť dve dotyčnice k danej kružnici. Priamka určená bodmi dotyku dotyčníc sa nazýva polára kružnice vzhľadom k bodu R.
Elipsa
Podobne ako existuje niekoľko rovníc priamky, môžeme aj rovnicu elipsy zapísať iným spôsobom. Každá rovnica v tomto tvare ale nemusí byť všeobecnou rovnicou elipsy.
Parabola
V rovnici paraboly označujú m, n súradnice vrcholu paraboly, teda vrchol je bod V=[m;n]. Ďalej p je parameter paraboly = vzdialenosť ohniska od riadiacej priamky.
Hyperbola
Hyperbola je množina všetkých bodov v rovine, ktoré majú od dvoch rôznych bodov (ohnísk) stály rozdiel vzdialeností 2a, ktorý je menší než vzdialenosť ohnísk. Hyperbola sa skladá z dvoch častí - vetiev hyperboly. Tieto dve vetvy sa blížia k priamkam, ktoré nazývame asymptoty.
Oproti elipse, nemusí byť v prípade hyperboly vždy hlavná polos a dlhšia než vedľajšia polos b. Stredová rovnica je v tvare -\frac{(x-m)^2}{b^2} +\frac{(y-n)^2}{a^2}=1.
Už vieme, že asymptoty sú priamky, ku ktorým sa hyperbola blíži. Pomôžu pri vykreslení hyperboly. Potom zostrojíme charakteristický obdĺžnik hyperboly. To je obdĺžnik, ktorý má strany rovnobežné s osami a vrcholmi hyperboly sú stredy jeho strán.
Podobne ako existuje niekoľko rovníc elipsy, môžeme aj rovnicu hyperboly zapísať rôznymi spôsobmi. Všeobecná rovnica hyperboly je v tvare: Ax^2 +By^2+Cx+Dy+E=1, A\cdot B \lt 0. Podmienka A\cdot B \lt 0 zaručuje, že konštanty A, B majú opačné znamienka.
Špeciálnou polohou sečnice hyperboly je priamka, ktorá je rovnobežná s asymptotou. Taká sečnica potom pretína hyperbolu v jednom bode. Ak vyjde jeden priesečník, musíme ešte rozhodnúť, či je priamka rovnobežná s asymptotou. Ak nie, ide o dotyčnicu.
tags: #psychomotoricky #ciel #geometria